2025年7月14日-15日，美国波士顿学院肖志杰教授为2025亚洲计量经济学和统计学暑期学校的学员们带来了主题为“函数型依赖性以及函数型时间序列分析”的课程。

7月14日下午，肖志杰教授围绕“什么是函数型数据（functional Data）”展开了深入浅出的讲解。函数型数据是指每个观测值为一条函数曲线或一个连续的数学对象，其研究已历经三个发展阶段：第一代以独立的实值函数为基础；第二代扩展至复杂数据对象，如多变量函数、具有相关结构的函数、图像及形状数据等；第三代则进一步涵盖了方向数据（directional data）、矩阵数据与网络值数据等更高层次的数据结构。在讲解过程中，讲座还特别阐述了面板数据与函数型数据的区别与联系：前者注重横截面与时间的离散结构，而后者则强调观测随时间或空间的连续变化，两者在建模框架和处理方法上具有显著差异，但也存在可融合之处。

紧接着，肖教授重点介绍了函数型数据在多个领域的广泛应用。在健康科学中，函数型数据可用于描述病人的生命体征曲线；在社会科学中，可分析个体分布的演化和关系；在金融领域，尤其是高频金融数据分析中，函数型方法为刻画市场瞬时动态提供了强有力的工具。在模型方法方面，肖教授系统讲解了多种函数型回归模型。包括scalar-on-functional回归（解释变量为函数，响应变量为标量）function-on-function回归（解释变量和响应变量均为函数），以及functional-on-scalar回归（函数作为响应变量，标量为解释变量）等三类回归模型，其中分位数回归模型是函数型回归模型的重要特例。

此外，肖志杰教授还介绍了广义线性函数型回归模型，扩展了传统回归模型对误差结构与分布的假设，适用于更多实际问题。在理论基础部分，肖志杰教授深入浅出地讲解了Hilbert空间的基本概念，包括内积、范数与算子等。

7月15日下午，肖志杰教授详细介绍了函数型主成分分析（FPCA），对主成分分析（PCA）与函数型主成分分析进行了对比，并与学员展开了热烈的讨论。在此基础上，肖志杰教授进一步探讨了线性分位数回归的估计问题。借助Karhunen–Loève展开，将函数型参数估计问题转化为可行的线性回归形式，使得分位点上的估计更加灵活与稳健。

此外，讲座还介绍了函数型均值与方差的定义与估计方法，以及前沿的分布对分布的回归模型（distribution-on-distribution Regression）。该模型主要解决两个分布之间的关系建模问题，借助Wasserstein几何与切空间（Tangent Space）等工具，有效克服了传统方法在分布型数据分析中的局限。

在最后的实证环节，肖志杰教授展示了一项基于标普500指数的研究，探索指数中成分股的对数收益率在不同分位点之间的关系。该实证充分体现了函数型分位数回归在金融数据建模中的优势，引发现场观众的浓厚兴趣与热烈讨论。

此次课程不仅拓展了与会者对函数型数据的理解与应用视野，也为相关学科的交叉融合与研究提供了新的思路与方法。