2023年7月21日和22日上午，世界计量经济学会“亚洲计量经济学和统计学暑期学校”由来自爱荷华州立大学的Cindy Yu教授为学员讲授主题为“Continuous Time Asset Pricing”的课程。Yu教授表示，本课程主要基于她在爱荷华州立大学的博士研究生课程的教学内容，课程的主要目标有三：（1）帮助学员了解连续时间资产定价模型所需要用到的数学工具；（2）回顾连续时间金融分析中的一些重要结论；（3）介绍一些相对前沿的金融研究领域，主要是如何将当下流行的机器学习和贝叶斯分析方法结合起来应用到金融领域中。

Cindy Yu教授在JASA、Management Sciences、Review of Financial Studies等顶尖学术期刊发表了多篇论文，2004年获得了数理统计学会的Laha奖。她曾获得包括美国农业部自然资源保护局、美国内政部土地管理局和美国农业部农业研究服务局等多个部门的基金项目，以支持与土地管理、保护和社区发展相关的统计和调查方法研究。

在课程的第一部分，Cindy Yu教授聚焦于两种典型的金融衍生品——期权和零息债券。她首先介绍了随机积分的基本定义和性质，以计算按照不同速度同时进、排盐水的水箱中盐的含量为例，引入了对连续时间进行建模的必要性和优势。随后，Yu教授介绍了对连续时间建模的发展历程，并介绍了随机微分方程、常微分方程、布朗运动、随机积分、伊藤公式、伊藤过程等金融随机分析中常用到的工具和概念。为了更近一步理解伊藤公式，Yu教授还详细介绍了伊藤公式的应用，主要是在对欧式看涨期权定价时，如何利用伊藤公式帮助估计未知参数。在介绍了可能用到的工具及其性质后，Yu教授梳理了Black-Scholes期权模型的发展历史，并介绍了如何基于无套利对期权进行定价；同时，介绍了鞅的概念和鞅表示定理，并强调了鞅过程在资产定价模型中的重要性。

在课程的第二部分，Yu教授讲解了带有随机波动的跳跃扩散过程，并讲述了不同的跳跃过程的优势和劣势，同时以Pan(2002)的研究为例，介绍了如何利用广义矩估计方法（GMM）估计模型中的待估参数。接着，Yu教授介绍了另一种重要的衍生品——短期利率。与期权定价模型不同，这里的利率为随机变量而非常数，因此需要对其进行定价。为此，Yu教授引入介绍了高斯期限结构模型和仿射期限结构模型。最后，Yu教授介绍了自己目前正在进行的一些研究。该研究考虑如何对5000只股票构造投资组合，使得收益最好。研究结合了机器学习方法恢复投资组合的分布信息，从而根据不同的分布信息进行排序。研究发现，基于分位数等进行排序从而进行多空交易的投资组合具有比基于均值交易的投资组合更高的收益。

整个课程中，Yu教授娓娓道来，总结梳理了对连续时间建模过程的发展历程，理论与案例紧密结合，让学员对资产定价模型的定价原理以及相关工具有了更深的理解。

（文/周瑾 图/李依桐 方思然）